Créame que vale la pena sentarse un rato y pensar la situación que voy a plantear. La idea es muy conocida para cualquiera que trabaja en lógica matemática, pero de todas las variantes que conozco, la que sigue es una de las que más me gustó y le pertenece a Donald Benson.

Es un ejemplo muy interesante para entrenar el cerebro y generarse algunas dudas internas.

Acá va.

Supongamos que en algún planeta –digamos Plutón por ponerle un nombre– hay infinitos perros. Sí, ya sé. De entrada ya hay un problema, porque no es posible que haya infinitos perros, pero se trata de estirar un poco la imaginación y avanzar. Concédame ese beneficio.

Sigo. Los infinitos perros tienen uno de estos dos colores: algunos son blancos y otros son negros.

Eso sí: en este planeta las leyes son muy rígidas, especialmente cuando se trata de que un perro pueda olfatear a otro. Más aún: cada perro tiene una lista de perros a los que puede olfatear. Sólo les está permitido entonces, olfatear a cualquier perro que figure en su lista. Las penas a quienes no cumplen son la muerte instantánea.

Sigo con más datos. Otra cosa que también se sabe es que no hay dos listas iguales. Es decir, no hay ningún perro que tenga una lista igual a otro.

Pero, increíblemente, si usted selecciona cualquier conjunto de perros de Plutón, ese grupo tiene que corresponder exactamente a la lista de algún perro. Sobre este último punto, lo invito a pensar lo que dice. Es más: le pido que no avance si no se siente cómodo con haber entendido lo que dice esta ley. Por ejemplo, si usted elige cualesquiera tres perros en Plutón, esos tres tienen que corresponder a la lista de un único perro. Y lo mismo, si usted elige otros seis perros: esos seis tienen que ser exactamente los seis que figuran en la lista de un único perro. Y eso sucede con cualquier subconjunto de perros de Plutón que usted elija: ellos tendrán que ser los integrantes de la lista de un único perro.

Además, lo curioso es que se permite que algunos perros figuren en sus propias listas. Es decir, a esos perros son los únicos que se les permite olfatearse a sí mismos. Justamente, éstos son los perros de color negro.

El resto de los perros no figura en su propia lista. No se les permite que se olfateen a sí mismos y por supuesto, entonces, éstos son los perros blancos.

Ahora bien, la pregunta es la siguiente: ¿es posible que estas reglas se cumplan? Es decir, ¿es posible que esa situación sea posible? ¿O hay alguna contradicción en alguna parte?

A esta altura, lo que yo haría, es quedarme a pensar tranquilo, sin apuros. El problema no tiene trampa, no tiene ningún misterio. Es cuestión de que usted recorra la lista de leyes que están escritas más arriba y se fije si hay alguna contradicción. Y por supuesto, si la hay –la contradicción– ser capaz de explicar cuál es. A manera de resumen, escribo todas las reglas:

1) hay infinitos perros en Plutón. Algunos son blancos, otros son negros;

2) todo perro tiene una lista de perros a los que puede olfatear;

3) todas las listas son diferentes;

4) dado cualquier conjunto de perros de Plutón, ellos tienen que ser los integrantes de la lista de un único perro y, por lo tanto, serán los únicos que ese perro pueda olfatear;

5) algunos perros pueden figurar en su propia lista y se les permite olfatearse a sí mismos. Estos son los perros negros,

6) los perros restantes, o sea, aquellos que no figuran en sus propias listas, son los perros blancos.

Ahora le toca a usted. Y si no, lea más abajo (pero como siempre, ¿qué gracia tendría sin haberlo pensado? ¿No era ésa la idea acaso?)

Solución

Voy a mostrar que las leyes escritas más arriba son contradictorias.

Tomemos todos los perros blancos. Este es –claramente– un conjunto de perros de Plutón. Como tal, tiene que corresponder a la lista de un único perro de Plutón, que voy a llamar Fido. Es decir: la lista de perros de Fido coincide exactamente con todos los perros blancos de Plutón. Y como esta lista tiene que cumplir las reglas, no hay ningún otro perro de Plutón que pueda tener la misma lista.

La pregunta que surge ahora es: Fido, ¿de qué color es? (Aquí, si yo fuera usted, volvería a pensar sola/o.)

Veamos.

a) ¿Puede ser blanco Fido? Si fuera blanco, él tendría que estar en su propia lista (porque acabamos de decir que la lista de perros que puede olfatear Fido, son todos los perros blancos. Si él fuera blanco, tendría que figurar en su propia lista). Pero si uno revisa la ley que lleva el número 6, se ve que los perros blancos eran justamente aquellos que no figuraban en sus propias listas. Moraleja: Fido no puede ser blanco, porque si no contradiría las leyes.

b) Uno debe concluir, entonces, que Fido tiene que ser negro. Pero si así fuera, Fido tendría que poder olfatearse a sí mismo (ver la ley 5). O sea, tendría que figurar en su propia lista. Pero esto no puede ser tampoco, porque la lista de Fido estaba compuesta justamente por todos los perros blancos. Entonces, si Fido fuera negro no puede figurar en su propia lista.

Esta paradoja es una versión más de las célebres paradojas de Bertrand Russell. Más allá del ejemplo, de Fido, de los perros blancos, negros y de Plutón, lo valioso de pensar en este tipo de cosas es entrenar el cerebro para recorrer caminos que no son habituales. En todo caso, yo creo que esto sirve para tomar decisiones más educadas en la vida cotidiana.